二次函数是一种常见的函数形式，其形式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 是常数，$a\neq 0$。二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其顶点是抛物线的最高点或最低点。
推导二次函数顶点坐标公式的过程如下：
1. 将二次函数标准形式化简为顶点形式
二次函数标准形式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a\neq 0$。为了求出二次函数的顶点坐标，我们需要将其化简为顶点形式，即 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h,k)$ 是顶点坐标。
我们可以通过配方法将二次函数标准形式化简为顶点形式。具体来说，我们可以将二次函数标准形式中的 $x$ 项配成一个完全平方，即 $y=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$，然后将括号中的 $x^2+\frac{b}{a}x$ 部分配成一个完全平方，即 $y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]$。化简后得到 $y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c$。由于 $\frac{b^2}{4a}-c$ 是一个常数，我们可以将其记为 $k$，从而得到 $y=a(x+\frac{b}{2a})^2+k$ 的顶点形式。
2. 求出顶点坐标
顶点坐标为 $(h,k)$，其中 $h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$。这个公式可以通过将顶点形式展开并比较系数得到。
3. 判断抛物线开口方向
如果 $a>0$，则抛物线开口向上；如果 $a<0$，则抛物线开口向下。
综上所述，二次函数的顶点坐标公式为 $(h,k)=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。这个公式可以通过将二次函数标准形式化简为顶点形式并求出顶点坐标得到。顶点坐标可以用来确定抛物线的最高点或最低点，从而确定抛物线的形状和位置。
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