tanx的泰勒展开式可以使用数学分析的方法进行求解。首先，我们需要了解泰勒展开式的定义和公式。泰勒展开式是指将一个函数在某一点处展开成无限项的幂级数的形式，其公式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)表示函数f在点a处的函数值，f'(a)表示函数f在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f在点a处的二阶导数，以此类推。
对于tanx函数，我们可以将其在x=0处展开，即a=0。因此，tanx的泰勒展开式为：
tanx = x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...
其中，x表示tanx函数在x=0处的函数值。
为了得到更多项的展开式，我们可以使用递推公式。假设我们已经求得了tanx的前n项展开式，我们可以通过求导得到tanx的第n+1项展开式，即：
tan^(n+1)x = (n+1)!an+1
其中，an+1表示tanx展开式的第n+1项系数。因此，我们可以通过递推公式得到tanx的任意项展开式。
我们需要注意到tanx的泰勒展开式只在某些范围内有效。具体来说，当x的取值在(-π/2, π/2)范围内时，tanx的泰勒展开式才能较好地逼近tanx函数。当x的取值越远离这个范围时，泰勒展开式的逼近效果就越差。
tanx的泰勒展开式可以通过数学分析的方法进行求解，其展开式的有效范围需要特别注意。
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